在观看过法国与意大利国内联赛中共 459 个点球的录像后

　　在观看过法国与意大利国内联赛中共 459 个点球的录像后，《魔鬼经济学》作者 Steve Levitt 与他的朋友一起撰写了一篇关于点球的论文。他们觉得，测试现实世界中的博弈理论能让他们获得独特的视角，而点球恰好就是博弈论在现实世界中的最典型的例子。

　　就和猜硬币一样，始终选择同一个方向显然是不明智的——对方只要知道你的模式，就可以用相应的策略打败你。搬弄一下博弈论的术语，就是“纯策略不是最优策略”。永远选择同一个方向的纯策略很直观，最优策略解释起来就有点麻烦。简而言之就是说，在对方知道你的策略的前提下跟你玩，你选择某个策略比选择其他策略收益都高，那么这个策略就叫最优策略。

　　但是，如果对方知道你的策略，难道不是总能找出应对立于不败之地么？那么，我们来看看一个叫“混合策略”的做法：罚球员的策略是扔一个骰子，然后 1/3 的概率选择三个方向之一。即使守门员知道罚球员是扔骰子决定的，他也没办法选择该扑哪个方向；而无论他怎么选，最后都是 1/3 概率扑中， 2/3 概率扑不中，最后结果是罚球员可以拿到2/3*1=2/3分。这比罚球员选择只踢左边的纯策略要好得多：守门员知道罚球员选择这样的纯策略的话，就可以每扑方向必中，这无疑就大大提高了扑出的概率。

　　在博弈论里，但凡这种带有随机决定的策略，都称作混合策略。不同的概率分布对应不同的混合策略：例如罚球员可以选择2/3概率踢左边，1/3概率踢右边的混合策略——当然这样的话守门员只要选择只扑左边，就可以以2/3概率扑对方向，所以这样的策略就不如刚才说的那种混合策略。如果考虑纯策略和混合策略的话，所有零和游戏里必然所有人都有最优策略，而所有人都执行相应最优策略的情况，则被称为纳什均衡。

　　当然，实际点球可不会这么简单。最重要的一点在于，无论选对还是选错方向，球都不是必进或必不进的。根据 Steve Levitt 论文里的统计数据，球员向惯用的左侧踢球比向右侧的进球率高：球员向左侧踢球的话，守门员即使选对了也有 63.6% 的概率进球；向右则是 43.7%。而守门员选错的情况也不是必进的，根据罚球员向左还是向右踢有 5% 和 10% 的概率不进球。

　　如果把这一点应用在模型上，虽然具体数据有所差异，但模型表现和上面说的那个简单模型是类似的——守门员和罚球员都存在唯一的最优策略，而且这个策略是一种混合策略。但是，根据具体的进球率数值不同，选择哪种混合策略的概率也会有所不同。